Nel considerare lo studio di ottimizzazione dei processi incontriamo il problema del bilancio tra costi fissi e costi di esercizio. Per risolvere tale problema è necessario esprimere entrambe le voci di bilancio nella stessa base e abbiamo due alternative:

1. annualizzare i costi fissi
2. capitalizzare i costi di esercizio

Nella trattazione seguente si procederà riportando tutte le voci di costo su base annuale.

Questa operazione passa attraverso la determinazione del valore che il denaro assume nel tempo e quindi bisogna assumere di prendere in prestito tutto il denaro necessario dalle banche.

In tal modo rimpiazziamo i costi fissi con una rata annuale che verseremmo alla banca per ripagarla del capitale prestato più gli interessi.  Questa rata annuale ha le stesse unità di misura dei costi operativi ed è l'obiettivo che volevamo raggiungere.

L'elemento chiave per capire il legame tra costi fissi e costi di esercizio è la modalità di restituzione di un prestito ad una banca e passa attraverso due elementi fondamentali: il capitale e l'interesse.

In altri termini l'annualizzazione dei costi fissi segue uno schema del genere:

L'INTERESSE

Il bilacio cui è sottoposto il denaro presso una banca è:

TASSO DI INTERESSE CONTINUO

Il tasso di interesse continuo è un tasso di interesse NON REALISTICO al giorno d'oggi perchè porta ad un interesse che cresce esponenzialmente nel tempo.

volendo applicare l'equazione di bilancio input-output=accumulo si ottiene:

S|_t+Δt - S|_t= i_c* S|_t * Δt

dove i_c [=] $interesse / ($capitale*anno)

e passando al limite si ottiene:

e risolvendo l'equazione differenziale:

dove P_r è il capitale iniziale depositato in banca ( a t=0) che cresce esponenzialmente nel tempo.

TASSO DI INTERESSE DISCRETO

Nel caso del tasso di interesse discreto, il calcolo è fatto periodicamente:

S|_n+1 – S|_n = i * S|_n

In altri termini si segue uno schema del genere:

1.     fine primo periodo: S = P_r + P_r * i = P_r * (i +1)

2.     fine secondo periodo: S = P_r * (i+1) + P_r * (i+1) *i = P_r * (1+i)²

3.     dopo n periodi: S = P_r * (i+1)ⁿ

CONFRONTO FRA TASSO DI INTERESSE CONTINUO E DISCRETO

Come possiamo vedere dalle due formule ricavate in precedenza, l’interesse, a parità di tasso i, varia a seconda del metodo adottato per il suo calcolo. 

Un grafico può aiutarci a capire la differenza tra interesse calcolato con tasso di interesse continuo e con tasso di interesse composto:

TASSO DI INTERESSE NOMINALE

Il tasso di interesse nominale è il TASSO DI INTERESSE REALE sommato al TASSO DI INFLAZIONE dove, per tasso di inflazione si intende il tasso di crescita del livello dei prezzi.

CONFRONTO FRA TASSO DI INTERESSE NOMINALE ED EFFETTIVO

Se una banca paga l' 1,5% di interesse ogni tre mesi, si dirà che il TASSO NOMINALE è del 6% ANNUALE COMPOSTO TRIMESTRALMENTE: in un anno ci sono 4 trimestri e quindi il tasso nominale annuale sarà dato da 1,5%*4 trimestri = 6%.

Se definiamo:

1. r = tasso di interesse nominale annuale
2. m = numero di periodi di composizione in un anno

possiamo valutare l'ammontare di una somma Pr investita per 1 anno:

e calcolando a quale TASSO ANNUALE EFFETTIVO i_eff otterremmo la stessa cifra:

possiamo ricavare per confronto delle due espressioni precedenti:

da cui si ottiene:

Tale formula serve a confrontare il tasso di interesse nominale con quello effettivo, entrambi definiti su base annua e relativi a una composizione discreta.

Dal confronto è facile comprendere che i_eff > r e che i_eff crescerà rispetto ad r al crescere di m ovvero al crescere del numero di periodi di composizione nell'arco dell'anno.

Volendo applicare gli stessi calcoli ad un periodo di n anni si ottiene:

e ricordando che per definizione si ha: 

la precedente formula diventa:

praticamente uguale a: 

e comparandola con: 

si ottiene:

ovverro:

da cui si ricava l'espressione seguente che mette in relazione i vari tassi di interesse:

Ovviamente la relazione trovata è vera solo se consideriamo m tendente a infinito; in altri termini possiamo dire che solo per una composizione estremamente elevata, quale potrebbe essere quella giornaliera, il TASSO DI INTERESSE NOMINALE E QUELLO CONTINUO coincidono.

ESERCIZIO DI RIEPILOGO:

Se il tasso di interesse nominale annuale è del 6%, si valuti il valore che assume una somma di 100 $ dopo 10 anni con:

1. composizione continua
2. composizione giornaliera
3. composizione semestrale

Si valuti, inoltre, il tasso di interesse effettivo annuale nel caso di composizione continua.

DATI

P_r = 100 $ (somma depositata)

n = 10 anni (tempo di deposito)

r = 6% (tasso di interesse nominale annuale)

a) S_c = ?

b) S_g = ?

c) S_s = ?

d) i_effc = ?

SOLUZIONE

a) Per valutare il valore che la somma assume in caso di composizione continua si utilizza la seguente  formula:

e sostituendo i dati si ha:

b) Nel caso della composizione giornaliera si utilizza la seguente formula:

dove m = numero di composizioni annue (nel nostro caso m = 365).

Sostituendo i dati si ottiene:

c) Nel caso di composizione semestrale l'unica cosa che cambia rispetto al caso b) è m ovvero il numero di composizioni annue e diventa m = 2 (in un anno ci sono 2 semestri):

d) Il tasso di interesse effettivo nel caso di composizione continua è dato dalla seguente formula:

e facendo i calcoli si ha:

OSSERVAZIONE

Mettendo in relazione caso a) e caso b) è interessante notare che la composizione continua coincide praticamente con la composizione giornaliera in accordo con la teoria esposta in precedenza che indicava tale coincidenza al tendere di m all'infinito.

ANNUALITA'

Per comprendere il concetto di annualità possiamo utilizzare un esempio:

supponiamo di voler calcolare la somma S che si accumulerà se, a scadenza annuale o periodica, accantoniamo una cifra R su cui agisca un tasso di interesse i.

Se effettuiamo ciascun pagamento a fine periodo e se n è il numeo di periodi, la prima rata produrrà interessi per (n-1) periodi, la seconda per (n-2) periodi e così via.

Alla fine degli n periodi avremo una somma pari a:

Riordinando si ha:

Oppure, in alternativa:

N.B.: Nel caso in cui si operasse con versamenti continui (giornalieri) otterremmo, analogamente a quanto fatto in precedenza, la seguente formula:

ATTUALIZZAZIONE

Uno dei problemi che riguardano l'attualizzazione è il calcolo di quanto denaro sia necessario versare oggi, in una banca che offra un tasso di interesse i, per poter disporre , in futuro, di una somma S.

In altri termini vogliamo valutare il cosiddetto Present Value (PV):

1. se la composizione è discreta si ha:
   
    
2. se la composizione è continua si ha:
   
   

dove i termini (i+1)^-n ed e^-i_ct sono detti FATTORI DI SCONTO e servono ad attualizzare le spese future.

ATTUALIZZAZIONE DEI COSTI ANNUALIZZATI

Per calcolare il valore attuale di un progetto che preveda un investiomento fisso I e dei costi annuali R, bisogna considerare che:

1. I è una spesa da effettuare oggi, al valore attuale
2. R è una spesa futura, periodica e quindi da attualizzare.

ATTUALIZZIAMO R:

Le ultime due formule ricavate possono essere utilizzate per confrontare alternative di spesa che differiscono per l'investimento iniziale e/o per la distribuzione delle spese di esercizio.

Testo di riferimento: Conceptual Design of Chemical Processes 1988 (James M.Douglas)